基于位置的模拟

流程

和bullet每次Tick差不多
5~7根据外力预测质点想要到的位置
8期望的位置可能产生碰撞
9~11约束处理，包括内部约束和碰撞约束，最终得到正确的位置 12~15根据正确的位置重新结算速度

推导

看了一个大神的推导，终于懂了。大神写的比较简略，这里捋一下。打公式真尼玛累

先证明一下这个
$\nabla \left( { h }^{ T }g \right) ={ \left( \nabla \left( { h } \right) \right) }^{ T }g+{ h }^{ T }\nabla \left( g \right)$

假设
$h=\left( \begin{matrix} { h }_{ 1 }\left( x,y \right) \\ { h }_{ 2 }\left( x,y \right) \end{matrix} \right) ,\quad g=\left( \begin{matrix} { g }_{ 1 }\left( x,y \right) \\ g_{ 2 }\left( x,y \right) \end{matrix} \right)$
则
$\nabla \left( { h }^{ T }g \right) =\nabla \left( { h }_{ 1 }g_{ 1 }{ +h }_{ 2 }{ g }_{ 2 } \right) \\ =\frac { \partial { h }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 1 } } g_{ 1 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { g }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 1 } } h_{ 1 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { h }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 1 } } g_{ 2 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { g }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 1 } } h_{ 2 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { h }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 2 } } g_{ 1 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { g }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 2 } } h_{ 1 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { h }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 2 } } g_{ 2 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { g }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 2 } } h_{ 2 }\overrightarrow { j } \\ =\frac { \partial { h }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 1 } } g_{ 1 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { h }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 2 } } g_{ 1 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { g }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 1 } } h_{ 1 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { g }_{ 1 } }{ { \partial x }_{ 2 } } h_{ 1 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { h }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 1 } } g_{ 2 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { h }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 2 } } g_{ 2 }\overrightarrow { j } +\frac { \partial { g }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 1 } } h_{ 2 }\overrightarrow { i } +\frac { \partial { g }_{ 2 } }{ { \partial x }_{ 2 } } h_{ 2 }\overrightarrow { j } \\ =\nabla { h }_{ 1 }\times g_{ 1 }+\nabla { g }_{ 1 }\times h_{ 1 }+\nabla { h }_{ 2 }\times g_{ 2 }+\nabla { g }_{ 2 }\times h_{ 2 }\\ =\nabla \left( { h }^{ T } \right) \cdot g+{ h }^{ T }\cdot \nabla \left( g \right)$

接下来
$\frac { \partial C\left( { P }_{ 1 },{ P }_{ 2 } \right) }{ { \partial P }_{ 1 } } =\frac { \partial \left( \left| { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right| -d \right) }{ { \partial P }_{ 1 } } =\frac { \partial \left( \sqrt { { \left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) }^{ T }\left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) } \right) }{ { \partial P }_{ 1 } } =\frac { 1 }{ 2 } \frac { \frac { \partial \left( { \left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) }^{ T }\left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) \right) }{ { \partial P }_{ 1 } } }{ \sqrt { { \left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) }^{ T }\left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) } } \\ =\frac { \partial \left( { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right) }{ { \partial P }_{ 1 } } \frac { { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } }{ \left| { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right| } =\frac { { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } }{ \left| { P }_{ 1 }{ -P }_{ 2 } \right| }$

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